إثبات أن جذر ٢ عدد غير نسبي بطريقة نقض الفرض:
برهن اقليدس هذا القانون بما يعرف بانه برهان بالتناقض اي انه يفترض شئ في البداية ثم يصل في النهاية الى عكس الافتراض مما يعنى ان الافتراض خاطئ ولا يجوز.
اذن فاقليدس ابتدأ برهانه و قال اننا يمكننا ان نعبر عن العدد جذر 2 في صورة رقم نسبى مختصر p/q حيث p و q رقمان طبييعان ليس بينهما قاسم مشترك بخلاف العدد 1 .
اذن فالعددان p و q ليسا عددان زوجيان. لانهما لو كانا عددين زوجيين لتمكنا من اختصارهما كما اننا نختصر 6/4 الى 3/2 وهذا يتنافى مع الفرض ان العددان هما مختصران لاقصى درجات الاختصار الممكنة.
بتربيع العدد نحصل على .
[latex] p^2/q^2 = 2[/latex]
ومنها
1 ******** [latex] p^2 = 2 q^2 [/latex]
معنى ذلك ان p^2 هو عدد زوجي لاننا كما نري هو ضعف العدد q^2
نتستنتج من ذلك ان p نفسه عدد زوجى لان حاصل ضرب عدد فردي في نفسه هو عدد فردي ايضا لانه الارقام الاولية الداخلة في تركيب العدد و تربيعه لا تتغير
من هنا يمكننا ان نفترض ان :
p = 2k
حيث k عدد طبيعى ما. بالتعويض في المعادلة 1 نحصل على
[latex] 4k^2 = 2 q^2[/latex]
ومنها
[latex] 2k^2 = q^2[/latex]
اذن q^2 عدد زوجي ومنها ان q هو عدد زوجي هو الاخر وهذا يخالف الفرض الابتدائى ان العددان لايملكان اى قاسم مشترك بخلاف الواحد. ومن هنا استنتج اقليدس ان جذر 2 هو عدد غير نسبى!!
